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수학의 원리를 이해하고 풀어야된다는 소리가 어이없음 [19]

Minerals : 337,746 / Level : 상사 상사
2023-05-05 10:50:58 (2년 전) / READ : 843

    쇼츠보니깐 공식은 외우면 안되고 이해하면 저절로 나오는거다 이렇게 얘기하면서 열변을 토하던데


    그러면서 최상위권으로 가려면 개념에 대한 정확한 이해를 해야된다고 막 하더라고? 근데 댓글은 막 맞다고 지들끼리 빨아주던데 진짜 이해가 안감


    그 정확한 원리를 이해하는건 재능임 이건 노력으로 할 수 없는거고 아마 댓글의 99.9퍼센트는 수학의 원리를 이해할 수도 없고 이해했다고 착각하는 애들임


    개념에 대한 원리를 스스로 찾아내서 풀 수 있는 조건이 되야 어려운 문제가 나와도 심오하게 풀 수 있는거지


    그 원리를 강사가 설명해준다고 그걸 응용해서 풀 수 있는게 아님. 그냥 또 다른 암기를 만들어내는거임


    가우스의 처음 숫자와 끝 숫자를 더해서 2로 나누고 묶음된 개수를 곱하면 전체의 합이 된다는걸 지가 들어서 알지 스스로 깨달아서 아는 색히가 대한민국에 얼마나됨?


    자꾸 수학을 창조와 응용의 영역이라고 설명하는데 이건 진짜 99프로 재능에서 기반하는거임


    그냥 0.1퍼센트 학생 제외하고는 그냥 스스로 원리를 이해해서 푼다고 착각하지만 그것도 그냥 강사가 알려준걸 자기가 응용했다고 착각하는거임


    이걸 듣고 원리를 이해해서 풀면 훨씬 쉬운데?라고 반박할 수 있는데 가슴에 손을 얹고 생각하면 그 원리를 이해한게 결국엔 주입식 교육에 의한 암기임


    결론은 원리를 이해하고 풀려고 스스로를 학대하지말고 그냥 재능의 한계를 받아들이고 암기를 잘해야겠다 생각하는게 오히려 수학실력에 도움됨


    진짜 안풀리는거 스스로 막 꼴깝떨고 원리를 이해해서 풀어야지 하는순간 시간만 버리고 대학가는 급만 낮아짐 ㄹㅇ


    물론 소수의 재능있는 사람은 막 꼴깝떨어도됨 얘네는 이게 가능하니깐 근데 대다수를 상대로 장사해먹고 있는 강사가 평범한 사람은 시간만 낭비하는 짓을 가르치는건 진짜 이해가 안감



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    • 댓글이 19 개 달렸습니다.
    • 웃고갑니다
    • @RayleighRitzㅋㅋㅋㅋ사람마다 받아들이는게 다를 순 있음 님이 소수의 재능있는 사람이면 웃긴글일 수도 있지만 수학을 이해하고 푼다는건 대다수의 사람한테는 해당사항없음
    • 2년 전
      그냥 암기야
    • @Preparation스타로 비유하면 프로게이머급이 되려면 스타를 이해해야되지만 대다수의 일반인은 그냥 빌드 외우고 프로게이머 따라하는게 훨씬 도움이됨. 일반인은 그걸 따라해서 숙련도를 높이는 노력이 실력의 전부임. 자기 스스로 뭔가를 이해해서 응용한다는건 노력으로 가능한게 아님. 수학을 잘하는 필요조건이 이해지 충분조건이 절대 아님. 수학을 이해해서 잘해지는게 아니라 그냥 재능있고 잘하는 사람이 이해하는거임.
    • 2년 전
      @스타개몬해맞아 수학과나 그런곳 전공을 공부하기에 필요한건 재능이고 일반인이 수능수학 가형 100점 맞을정도는 그냥 외우고 약간의 응용력만 있음 되는거임
    • 2년 전
      수학의 원리를 이해하라는건 그 심오한 자연의 진리를 탐구하라는게 아니라 기본적인 도구를 가지고 응용을 할때 왜 이렇게 적용되는지, 왜 이렇게 해야하는지 익숙해지라는 말임. 니가 예를 든 가우스의 등차수열의 합 공식도 가우스가 수열의 중간 항을 기준으로 대칭되는 항의 합이 일정하다는 원리를 발견한 거니까 이걸 알고 있으면 문제가 변형되어 나오더라도 항이 홀수 개인 수열에서는 가운데 항만 나중에 더해주는 방식이라든지 이렇게 응용이 가능해지는거지 단순히 등차수열의 합공식만 달달 외우고 있으면 응용하는데 지장이 생긴다는 말임.
      물론 항이 홀수 개인 경우에도 공식 사용에 지장이 없지만
      그냥 공식만 계속 쓰면서 되는거랑 실제로 한번 더해보면서
      ‘아 어차피 대칭되는 항의 합은 가운데 항의 두배가 되고 이걸
      2로 다시 나눠주는 방식이기때문에 항 개수가 홀이든 짝이든 상관이
      없구나’를 생각하게 되고 더 나아가 이걸 해보면서 등차수열의 대칭성과
      등차중항의 원리도 자연스럽게 받아들이게 된다는 말이야.

      쉽게 말하면 원리를 알고있으면 공식을 사용할 수 있는지 없는지,
      당장 사용 불가능하다면 어떻게 변형해야 사용 가능해지는지 이런게
      접근이 되는데 그냥 공식만 알고 있으면 문제에 변형이 있을 때 그걸
      사용하는 방법을 찾기 매우 어렵게 된다는 말임..

      또 다른 예시로 곱함수의 미분을 배워놓을때 이걸 그냥 공식으로
      배우면 나중에 나눠진 함수의 미분과 부분적분을 배울 때 다 다른 방식으로 배워야 하지만 ‘h=f*g일때 h'=f'*g+f*g'이므로
      f=h/g를 미분하게 되면 f'=(h'g-hg')/g^2이 되는거구나’ 같은 짓을
      혼자서 해보고 이해했으면 문제 내에서 잘 안보이는 곱미분 형태를
      나누기 형태로 바꿔보고 풀어나가는게 가능해지는거라고.

    • 2년 전
      그리고 이러한 변형 및 응용은 킬러문제를 해결하는데 매우 결정적인 역할을 함. 대학 미적분학도 아니고 수능 수학같은 경우는 어차피 다 보이는 형태로 던져준다음에 공식을 아는지 모르는지 묻는게 아니라 숨겨놓는다는 말이야. 쉬운 예시로 171130같은 문제도 결국 평균변화율 형태를 찾아낼 수 있는지를 묻는 문제였고 그 외에도 대다수의 킬러~준킬러 문항은 문제 표면에서 보이는 형태로는 공식이나 유형이 적용이 안됨.
      니가 이것 저것 형태를 바꿔보고 양변을 나눠보고 미분해보고 이러면서
      익숙한 형태를 찾아낸 다음 공식을 적용하는 방식이지. 이 과정에서 원리에 무지하면 어떻게 변형해야하는지, 왜 그렇게 변형해야 하는지에 대한 당위성을 도무지 찾아낼 수가 없게되니까 그게 아이큐 테스트처럼 느껴지게 되는거. 
    • @theprodigy그니깐 너가 말한 딱 그 수준이면 충분하다는거임. 딱 강사가 알려주는걸가지고 자기가 문제를 풀면서 숙련도를 높이는 과정과 그 경험치를 방대하게 늘리는 과정이 수학 실력을 늘리는 방법임. 여기서 재능있는 애들은 그 과정에서 이해하게되면서 실력이 크게 늘거고 재능이 없는 사람은 조금 늘거임. 

      결국 어떤 문제를 보고 아 내가 이걸 이해해야지하고 연구하는게 아니라 강사한테 배운걸로 문제를 풀다보면 이해가 수반 된다는거임. 이해하려는 과정을 억지로 만드는게 아니라 그냥 배운걸 푸는 과정 흔히 게임으로치면 판수를 늘리는과정에서 실력차이가 저절로 생기는거지. 문제를 푸는 방법에 따라 더 빨리 느는게 아니란 소리임. 이해는 그냥 과정에서 도출된 차이이지 이걸 억지로 만들어서 차이를 좁히는게 아님. 근데 강사들은 마치 이해를 안해서 수학을 못한다고 하는데 그건 재능있는 사람이 자신이 이해했기때문에 수학을 잘했다고 착각한거지. 이해를 하려는 어떠한 방법론에 의해서 수학을 잘해진게 아니란거임.
    • 2년 전
      @스타개몬해?? 니 말은 그러면 공부를 할때 내가 말한 수준의 원리를 혼자 연구해보고 찾아내려는 별도의 노력 없이 재능만 있으면 자동으로 원리를 찾게 되는거고 재능이 없으면 아무리 이해해보려고 노력해도 안 된다는 말임??
      같은 책을 놓고 보더라도 자세하게 증명 과정을 써놓은 페이지를 따라가면서 본인도 그 증명의 과정을 따라가보고 익혀놓는게 그냥 그 옆에 요약된 공식을 외우는거랑 전혀 차이를 만들지 못한다고?
      결국 재능있는 애들은 요약된 공식만 보고도 그 증명과정에 스스로 도달하는거고 없는 애들은 증명과정을 아무리 따로 빼서 익히고 그 원리를
      이해하려고 노력해도 결국 공식 암기하는 수준에서 벗어나지 못한다는  말인데?
      니 말은 결국 학생이 혼자 공식의 증명과 원리에 대한 이해를 깨달아서
      그걸 응용하는 방법을 찾아내 봤자 그건 그 방법론이 실재하는게 아니라
      그냥 그 학생의 재능이 저절로 가져다준 결과적인 현상이라는 건데
      그건 동의하기 힘든데? 내가 수학 가형 만점이고 대치동에서 애들도
      5년 넘게 가르쳤는데 그럼 니 말대로라면 그냥 양치기만 **게 시키면
      알아서 재능순으로 성적 찍히고 그 외적인 방법은 없다는거 아니야
    • 2년 전
      @스타개몬해그냥 공식 외우고 문제 유형 암기하고 하는걸로 성적이 안 느는 학생에게 스스로 문제에 대한 접근방식을 왜 이렇게 접근했는지, 왜 식을 이렇게 변형해야 하는건지등등 적어보게 만들고 하나의 원리에서
      파생되는 수많은 공식들을 직접 증명하고 응용하게 유도하고 이런걸 
      방법론으로서 가르치는게 불가능하다는건 지나치게 편협한 생각임.
      물론 재능에 따라서 그 방법론을 흡수하고 사용하는데 걸리는 시간적 차이는 존재하고 어떤 경우에는 흡수 자체가 불가능한 경우도 있지만
      그런 방법을 사용하지 못하고 그냥 요령 없이 양치기만 주구장창해서
      성장 한계에 부딪힌 어중간한 재능의 보통 아이들에게 분명히 도움이 되는 경우가 많다고. 니 말대로라면 어떤 과목의 어떠한 방법론이라는거 자체가 존재할수가 없는거지. ‘아 그게 방법론이 따로 있는게 아니라 그냥 재능있는 애들은 스스로 해보다가 자연스럽게 얻게 된거지 뭐 노력한다고 따라할 수 있는게 아니에여’ 로 설명이 안되는 공부법이란게 있음 그러면?
    • 2년 전
      인류의 역사가 진행될수록 수학 지식과 공부량도 더 쌓일 겁니다. 물론 스스로 가우스처럼 1부터 100까지 합을 떠올리는 게 의미있을 수 있지만, 과거 수학자들이 해놓은 업적과 아이디어를 학습하는게 스스로 깨우치는 것보다 훨씬 시간의 단축을 제공해주고, 이걸 토대로 새로운 발전에 기여하는 것도 선순환이라고 봅니다. 기존의 업적을 학습하는게 또 다른 형태의 암기라는 말에 부정하진 못하지만, 그런 학습 방식이 수학적 잠재력이나 앞으로의 가능성을 꼭 해치는 것은 아니라고 봅니다.
    • @∫㏒(x)dx제 말은 그 이해란걸 부정하는게 아니라 이해는 단지 수반되는거지 이해를 통해 공부해야 되는 방법이 있는게 아니란 소리입니다. 바둑으로치면 바둑을 많이 두고 경험치를 쌓다보면 이해를 하고 느는거지. 이해를 하면서 바둑을 두면 더 빨리 더 높게 실력이 는다는 방법따윈 없다는 겁니다. 근데 수학은 마치 원리를 이해하면 더 잘해진다라는 납득되지않는 방법론이 마치 정설처럼 퍼져있는데 이는 솔직히 상술이거나 재능있는 사람의 착각으로 보입니다.
    • 솔직히 고등수학은 ㅇㅈ임 문제만 잘 풀고 공식만 알면 된다고 생각
    • 2년 전
      현직 수학강사인데, 님글에 동의함.

      이해하라곤 하지만 그게 결국 암기가 맞는것 같아요.
      저도 중고딩때 개념을 배우면 뭔소린지도 모르는 경우도 있었고, 이해가 되더라도 그래서 저걸 어떻게 쓰는거야? 란 생각도 들어서
      개념은 일단 받아들이고 문제를 풀면서 그 개념을 이해(암기)하는 편이었어요.

      제가 학생들을 가르치면서 가장 충격먹은것 중하나가
      근의공식을 외워놓고 a,b,c가 뭐냐고 질문하는 학생이 가장 어이가 없었어요.

      다만, 그 개념에 대해 근본적인 원리를 알면 응용도 저절로 되긴해요.
      예를들어 a×b+a×c = a×(b+c) 이건 중3땐 인수분해로 배우고, 반대로 계산하는것은 중1때 분배법칙으로 배웁니다.
      그런데 곱하기가 생긴 근본적인 원리는 "같은값을 몇번 더했냐" 라는 것을 알면,
      123×45+123×55에서
      123을 45번 더한것과, 123을 55번 더한것을 더하기 때문에 결과적으로 123을 100번 더하는 것이므로 123x100 으로 초등과정에서도 분배법칙을 몰라도 계산할수 있습니다.

      그런데 저도 이 사실을 몇년전에 유튜브를 통해 알았고, 초딩때 그냥 이렇게 풀면된다고 알려줘서 풀이방법으로암기해서 풀었기 때문에
      근본적인 원리는 몰라도 문제는 잘 풀었었기 때문에 굳이 몰라도 상관은 없긴해요.

      다만, ㅁx2+ㅁ×3=20 이런 문제가 초등학교 4학년 문제에 나올때, 곱하기의 원리를 알려주면 그다음부터는 잘 풀더라고요.

      그러므로 개념을 이해했다는 것을 그 개념을 잘 암기했고, 문제에 잘 적용시켜서 풀고, 남한테 설명해서 이해시킬수 있으면 잘 이해한 것이다
      라고 저 개인적으로는 생각하고있어요.
    • @1qaz2wsx3ed현직러 등판 ㄷㄷ
    • 이해라는 말을 너무 니혼자 딥하게 들어가서 생각하고 쓴 글 같은데? 공식이나 기출만 달달 외우면 절대 만점 못받는다 불변의 진리다 킬러문제도 그렇고 4점짜리들 암기로 푸는거 불가능함 공식 외우면 뭐함 유도를 못하는데
    • 2년 전
      수능 수학 96점 미만인것들이 개소리를 길게도 써놨네
    • @akiru쓰팩폭 ㄷㄷ
    • 2년 전
      그래서 수학의 정석 저자(홍성대)가 서두에 수학은 기억력(암기)과 사고력(이해)의 조화라잖음
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