님 말씀대로

(a+b√2)(c+d√2) 해서 값이 a+b√2 형태꼴로 나올수 있으면 닫혀있는거 

맞습니다.

위 식을 한번 전개를 해 보죠.

(a+b√2)(c+d√2)= ac + 2bd + (ad + bc)√2

이 되는데요.

여기서 만약에 ac + 2bd = 0 이 되는 상황을 보도록 하죠.

a = 1 / c = 2 / b = 1 / d =-1 만 되더라도 성립하네요.

ac + 2bd + (ad + bc)√2 = 0 + √2
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해서 연산 결과가 √2가 나오네요.

그런데 a,b는 0이 아닌 유리수라고 전제가 되어있네요.

그렇다면 무엇을 의미할까요?

이는 a+b√2 는 √2를 포함하지 못한다는 소리입니다.

결국 곱셈에 대해 닫힌 것이 아니라는 것입니다.

 간단한 반례
(a+b√2)(a-b√2)=a²-b²
루트2의 계수가 0이 아니어야 하는데 0이므로 닫혀있지 않음